Question

已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k、t为正实数,x=a+(t²+1)b,y=-ka+ b.?

       (1)若x⊥y,求k的最小值.?

       (2)是否存在k、t,使得x∥y?若存在,求出k的取值范围；若不存在,请说明理由.

      

Answer 1

解析:x=a+(t²+1)b=(1,2)+(t²+1)(-2,1)=(-2t²-1,t²+3),?

       y=-ka+b=-k(1,2)+  (-2,1)=(-k-,-2k+).?

       (1)若x⊥y,则x·y=0.?

       ∴(-2t²-1)(-k-)+(t²+3)(-2k+)=0.?

       整理,得k=t+≥2.∴k_min=2.?

       (2)假设存在正实数k、t,使x∥y,则?

       (-2t²-1)(-2k+)-(t²+3)(-k-)=0.?

       化简,得k(t²+1)+ =0.?

       ∵k、t是正实数,故满足上式的k、t不存在.?

       ∴不存在这样的正实数k、t,使x∥y.