Question

19．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数定义f（-x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值，f（-1）=-f（1），求a的值；
（2）根据导数的正负得到函数f（x）的单调性；
（3）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴b=1，
∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，∴a=1
（2）由（1）知f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
（3）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，f（x）是奇函数，
所以（t²-2t）+f（-k）＜0等价于t²-2t＞k．
即对一切t∈R有：t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+4k＜0．
∴k的取值范围是k＜-1．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．