Question

9．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）•f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}满足f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，（n∈N⁺）且a₁=f（0），则下列结论成立的是（　　）

• A． f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₆）
• B． f（a₂₀₁₄）＞f（a₂₀₁₅）
• C． f（a₂₀₁₆）＜f（a₂₀₁₅）
• D． f（a₂₀₁₄）＜f（a₂₀₁₆）

Answer 1

分析 先由题意得到f（0）=1=a₁，再根据$f（{a_{n+1}}）=\frac{1}{{f（\frac{1}{{1+{a_n}}}）}}$，得到a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，再求出a₂₀₁₃=a₃=-2，a₂₀₁₄=a₁=1，a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=a₃=-2，即可比较大小．

解答 解：∵f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，则f（-1）•f（0）=f（-1），
∵当x＜0时，f（x）＞1，
∴f（-1）≠0，
∴f（0）=1，
∵$f（{a_{n+1}}）=\frac{1}{{f（\frac{1}{{1+{a_n}}}）}}$，
∴f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=1=f（0）
∴f（a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=f（0）=a₁，
∴a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0，
即a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
当n=1时，a₂=-$\frac{1}{2}$，
当n=2时，a₃=-2，
当n=3时，a₄=1，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
∴a₂₀₁₃=a₃=-2，
a₂₀₁₄=a₁=1，
a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，
a₂₀₁₆=a₃=-2，
故选：B．

点评 本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键．