Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，求的极值；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）判断函数的零点个数.（直接写出结论）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）有极大值，极大值为；没有极小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据极值的定义求解；（Ⅱ）转化为求函数的最值；（Ⅲ）根据函数的单调性和极值即可判断.

解：（Ⅰ）当时，定义域为.

因为，所以.

令，解得，

		极大值

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以有极大值，极大值为；没有极小值.

（Ⅱ）因为，所以在上恒成立，即在恒成立.

设

①当时，，不符合题意.

②当时，

.

令,即，

因为方程的判别式，两根之积. 所以有两个异号根. 设两根为，且，

i）当时，

		极大值

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，不符合题意；

ii）当时，，即时，

在单调递减，所以当时，，符合题意.

综上，.

（Ⅲ）当或时，有个零点；当且时，函数有个零点.