Question

18．在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD³，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD³中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD³求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k₁，k₂，k₃，那么k₁：k₂：k₃=$\frac{π}{6}$：$\frac{π}{4}$：1．

Answer 1

分析 根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出．

解答 解：∵V₁=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π（$\frac{a}{2}$）³=$\frac{π}{6}$a³，∴k₁=$\frac{π}{6}$，
∵V₂=aπR²=aπ（$\frac{a}{2}$）²=$\frac{π}{4}$a³，∴k₂=$\frac{π}{4}$，
∵V₃=a³，∴k₃=1，
∴k₁：k₂：k₃=$\frac{π}{6}$：$\frac{π}{4}$：1，
故答案为：$\frac{π}{6}：\frac{π}{4}：1$

点评 本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．