题目内容

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证： $数学公式$ ．

解：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 $\text{[math]}$ ，
∵a＞0，x＞-1，∴当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 $\text{[math]}$ ，单调递增区间是 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 $\text{[math]}$ ，a＞0．
要证明 $\text{[math]}$ ，
只须证明 $\text{[math]}$ 成立．
设 $\text{[math]}$ ，x∈（0，+∞）．
则 $\text{[math]}$ ，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 $\text{[math]}$ ．
取 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 成立．
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 成立．因此， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，a＞0，构造函数设 $\text{[math]}$ ，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．
点评：本题以函数为载体，，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上第二个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点，属难题．