Question

7．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函数$g（x）=sin\frac{π}{2}x$，若f（x）与g（x）两图象只有3个交点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{5}，1）∪（1，\frac{9}{2}）$
• B． $（0，\frac{1}{7}）∪（1，\frac{9}{2}）$
• C． $（\frac{1}{7}，\frac{1}{2}）∪（3，9）$
• D． $（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）∪（5，9）$

Answer 1

分析 在同一坐标系中画出函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函数$g（x）=sin\frac{π}{2}x$的图象，结合已知数形结合可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：在同一坐标系中画出函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函数$g（x）=sin\frac{π}{2}x$的图象如下图所示：

∵f（x）与g（x）两图象只有3个交点，
∴①0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}3＞-1\\{log}_{a}7＜-1\end{array}\right.$，解得：a∈$（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$，
②a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}9＞1\\{log}_{a}5＜1\end{array}\right.$，解得：a∈（5，9），
综上可得：a的取值范围是$（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）∪（5，9）$，
故选：D

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．