Question

已知函数f（x）=2lnx+x²，若f（x²-1）≤1，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=2lnx+x²，x＞0，利用导数性质求出f（x）是增函数，f（t）=2lnt+t²，t=x²-1，由f（t）≤1，得0＜t≤1，所以0＜x²-1≤1，由此能求出实数x的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=2lnx+x²，
∴x＞0，f′(x)=2x+

2

x

=2•

x2+1

x

＞0，
∴f（x）是增函数，
f（t）=2lnt+t²，t=x²-1，
令2lnt+t²=1，t=1，
∴f（t）≤1，∵f（t）是增函数，
∴0＜t≤1，
∴0＜x²-1≤1，∴1＜x²≤2，
解得-

2

≤x＜-1或1＜x≤

2

．
∴实数x的取值范围是[-

2

，-1）∪（1，

2

]．
故答案为：[-

2

，-1）∪（1，

2

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，导数性质的灵活运用．