Question

【题目】记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令．

（1）若，写出，，，的值；

（2）设，若，求的值及时数列的前项和；

（3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”．

Answer 1

【答案】（1），（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）分别计算出，，，结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到bn，由数列的分组求和，可得所求和；

（3）充分性易证，无论d为何值，始终有bn，即可证得结果，必要性须分类证明．

解：（1） 因为，所以，

所以，

（2），

当时，，无解；

当时，，无解；

当时，,解得；

当时，无解，

此时，

当时，，

所以当时递增，

，

所以当时，

（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.

当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；

都有，

所以数列是等差数列.

充分性：数列是等差数列，设其公差为

则，

由题意知，，

当时，对任意都成立，

即，所以是递增数列，

，

所以是公差为的等差数列，

当时，，进而

所以是递减数列，，

，

所以是公差为的等差数列

当时，，

因为与中至少有一个为，所以二者都为，

进而得为常数列，

综上，充分性成立.