Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x．
（1）若角α的终边过点P（3，4），求f（α）的值；
（2）求f（x）的单调递增区间及对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）由角α的终边经过点P（3，4），利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα代入即可得解．
（2）利用三角函数倍角公式和两角和的正弦公式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，由对称轴方程满足2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z即可解出；再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．

解答 解：（1）∵点P（3，4），
∴x=3，y=4，|OP|=5，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴f（α）=2$\sqrt{3}$sinαcosα-2sin²α=2$\sqrt{3}×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}-2×（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{24\sqrt{3}-32}{25}$．
（2）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x=$\sqrt{3}$sin2x-（1-cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴对称轴方程满足2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
即x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得，kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
故f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．

点评 熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、对称轴方程、三角函数的单调性和余弦定理是解题的关键．