题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．
【答案】分析：（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴
，解得
，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得
或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为
，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．
点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．
（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴
，解得
，∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得
或x=-2．当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
| x | -3 | （-3，-2） | -2 |  |  |  | 1 |
| f'（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | 8 | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 | 4 |
，又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．
点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．
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期末1卷素质教育评估卷系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|