Question

（2012•深圳一模）已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x

f′(x)

 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用f′（2-x）=f′（x），可求b的值；利用曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，可求a，c，d的值，从而可得函数解析式；
（2）确定函数解析式，分类讨论，可求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）求出函数h（x），再将不等式转化为具体不等式，利用最值法，即可求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）求导数可得f′（x）=x²+2bx+c
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4
∴在（a，0）处的切线为：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3
由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1
由f（3）=

1

3

×27-3²+3+d=0得：d=-3
所以有：f(x)=

1

3

x3-x²+x-3
（2）g(x)=x

f′(x)

=x|x-1|
当x≥1时，g（x）=x（x-1）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，函数为增函数
x＜1时，g（x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，最大为g（

1

2

）=

1

4

比较g（m）=m（m-1）与

1

4

得：m≥

1+ 2

2

时，m（m-1）≥

1

4

因此，0＜m≤

1

2

时，g（x）的最大值为m-m²；

1

2

＜m≤

1+ 2

2

时，g（x）的最大值为

1

4

；
m＞

1+ 2

2

时，g（x）最大值为m²-m
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
当x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）
此时不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立
则有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
则有-1＜t＜0

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的解析式是关键．