题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.
(1)求导数可得f′(x)=x2+2bx+c
∵f′(2-x)=f′(x),∴f′(x)关于x=1对称,∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12,设交点为(a,0),则f(a)=0,f′(a)=4
∴在(a,0)处的切线为:y=4(x-a)+0=4x-4a=4x-12,∴4a=12,∴a=3
由f'(3)=9-6+c=3+c=4得:c=1
由f(3)=
1
3
×27-32+3+d=0得:d=-3
所以有:f(x)=
1
3
x3-x
2+x-3
(2)g(x)=x
f′(x)
=x|x-1|
当x≥1时,g(x)=x(x-1)=x2-x=(x-
1
2
2-
1
4
,函数为增函数
x<1时,g(x)=-x2+x=-(x-
1
2
2+
1
4
,最大为g(
1
2
)=
1
4

比较g(m)=m(m-1)与
1
4
得:m≥
1+
2
2
时,m(m-1)≥
1
4

因此,0<m
1
2
时,g(x)的最大值为m-m2
1
2
<m≤
1+
2
2
时,g(x)的最大值为
1
4

m>
1+
2
2
时,g(x)最大值为m2-m
(3)h(x)=lnf′(x)=ln(x-1)2
当x∈[0,1]时,h(x)=2ln(1-x)
此时不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立
则有2ln(t-x)<2ln(-2x-1)
∴0<t-x<-2x-1,
可得t>x且t<-x-1,
又由x∈[0,1],
则有-1<t<0
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