Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），由题意可得

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，解出即可；
（2）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其单调区间；
（3）利用导数的运算法则可得g′（x），列出表格，要满足条件，则g（x）_max＞0，g(

1

e

)≤0，g（2）≤0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=alnx-bx²，（x＞0），∴f′(x)=

a

x

-2bx，
∵函数f（x）=alnx-bx²图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，
∴

2×1-f(1)-3=0 k切线=f′(1)=2

即

f(1)=-1 f′(1)=a-2b=2

，
∴

-b=-1 a-2b=2

，
∴a=4，b=1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=4lnx-x²
（2）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴由（1）有f′(x)=

4

x

-2x，
令f′(x)＞0，即

4

x

-2x＞0，解得：0＜x＜

2

令f′(x)＜0，即

4

x

-2x＜0，解得：x＞

2

…（7分）
∴函数f（x）的单调增区间是(0，

2

)；单调减区间是(

2

，+∞)．
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′(x)=

4

x

-2x=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令g′（x）=0，解得x=

2

或-

2

(舍去)．
∴当x变化时，如下表：
可得函数的大致图象：
由图象可知：要使方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有两解，则

m-2＞0 g( 1 e )≤0 g(2)≤0

，
即

m＞2 m≤4+2ln2+ 1 e2 m≤4-2ln2

，解得2＜m≤4-2ln2，
∴实数m的取值范围是（2，4-2ln2]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义等是解题的关键．