Question

如图所示，设矩形ABCD的AB=2，AD=3，E、F分别是AD、BC的三等分点中靠近D、C的那个分点，G为CD边上的一个点．将此矩形沿EF折成直二面角．

第18题图

(1)当平面BFG⊥平面BEG时，求G点的位置；

(2)在(1)的前提下，求直线GE与平面BFG所成的角．

Answer 1

答案：(1)建立如图所示的坐标系，有F(0，0，2)、E(0，0，0)．

设G(1，0，z)，则=(1，0，z)，=(0，2，0)，=(0，-2，2)．

第18题图

又设平面BEG的法向量为m=(a，b，c)，则

.

令c=1，得m=(-z，0，1)．

设平面BFG的法向量为n=(p，q，r)，则

.

令r=1，得n=(2-z，1，1)．

令m⊥n，得-z(2-z)+1=0z=1．

故当且仅当G为CD中点时，平面BFG⊥平面BEF．

(2)作EH⊥BG于H.

∴平面BFG⊥平面BEG，∴EH⊥平面BFG．

于是，∠EGH就是直线GE与平面BFG所成的角．

在ABGE中，∵EH·BG=BE·EG，

∴EH=

故sin∠EGH=.

∴∠EGH=arcsin.