Question

【题目】已知各项均为正数数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，求的值用含n的式子表示；

（3）若，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）证明见解析

【解析】

（1）根据题意，令，求出，列出时的表达式，两式相减，整理可得的关系式，列出的关系式，两式相减得到的关系式，利用等差数列通项公式进行求解即可；

（2）由（1）求出，代入等比数列通项公式可得数列的通项公式，令，利用错位相减法进行求和即可.

（3）由题意知，，分别令，解方程求出，当时，有，两式相减得到，进而可得，两式相减可得，令，证得，由等差数列的定义可知即得证.

（1）各项均为正数数列满足，

，解得，当时，可得： ，

两式相减可得，，

整理可得，，，

时，，两式相减可得：，

数列为首项为，公差为的等差数列，.

（2）因为等比数列满足

所以数列的公比，，

令，

则，，两式相减可得，

；

（3）证明：由（1）知，，

可得：，又.

解得，

时，，，

两式相减可得：，

所以，

两式相减可得：

设，化为：.

又，可得，以此类推可得：，

即数列是等差数列.