Question

【题目】已知函数，．，e为自然对数的底数．

（1）如果函数在(0， )上单调递增，求m的取值范围；

（2）设，，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1），则 在 上恒成立，转化为，令 ，求导判断单调性，解得当x=1时， 有最小值为 ，∴ 。

（2）利用分析法证明原式，即证成立，令 ，转换为证明

成立，构造新函数 ，求导，根据单调性即可得证。

（1） ， 要使 在 上单调递增，

则 在 上恒成立. ∴ ，∴ ，

令 ， 当 时， ， 单调递减，

当 时， ， 单调递增 ∴当x=1时， 有最小值为 ，

∴

（2）要证 ，只要证 ，

两边同时除以 得： ，令 得：

所以只要证： ，令 ，

∴ ， ，

∴ 即 ，

∴原不等式成立