Question

△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合),且|AB|²=|AD|²+|BD|·|DC|,求证△ABC为等腰三角形.

Answer 1

解:作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立直角坐标系.如图4.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).

图4

因为|AB|²=|AD|²+|BD|·|DC|,

所以由距离公式可得b²+a²=d²+a²+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).

又d-b≠0,故-b-d=c-d,即-b=c.

所以|AB|=|AC|,即△ABC为等腰三角形.

点评:根据图形特点,建立适当的直角坐示系,利用坐标解决有关问题,这种方法叫坐标的方法,也称为解析法.