Question

20．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的点，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）求证：D为AA₁中点；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面BDC所成角正弦值大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC₁两两互相垂直，分别CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，结合DC₁⊥BD，利用向量垂直的坐标运算求得D的竖坐标，可得D为AA₁的中点；
（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC₁与平面BDC所成角正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由已知可得AC，BC，CC₁两两互相垂直，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=1，D是棱AA₁上的点，
∴D（1，0，h），C₁（0，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，0，2-h），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，h），
∵DC₁⊥BD，∴$\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}=0$，得-1+h（2-h）=0，解得h=1，
∴D为AA₁的中点；
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
设面BDC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设直线BC₁与平面BDC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线BC₁与平面BDC所成角正弦值大小为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．