题目内容

已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0，1]内有且只有一个根，则f(x)＝0在区间[0，2011]内根的个数为

[　　]
A．

2011

B．

2010

C．

1006

D．

1005

答案：A
练习册系列答案
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已知f(x＋1)＝，f(1)＝1，x∈N+，猜想f(x)的表达式为

[　　]
A．

f(x)＝

B．

f(x)＝

C．

f(x)＝

D．

f(x)＝

已知f(x－1)＝logax(a>1)，则函数f－1(x)的图象是

 

 

已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.若f(0)＝0，f(1)＝2，则f(1) ＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2007)的值等于(　)

A．2007

B．2008

C．2009

D．2010

 

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)设切点为(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

 

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