Question

5．函数$y=\frac{1}{2}lnx+x-\frac{1}{x}-2$的零点所在的区间是（　　）

• A． $（\frac{1}{e}，1）$
• B． （1，2）
• C． （2，e）
• D． （e，3）

Answer 1

分析 先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．

解答 解：∵函数$y=\frac{1}{2}lnx+x-\frac{1}{x}-2$（x＞0），
∴y′=$\frac{1}{2x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数y=$\frac{1}{2}$lnx+x-$\frac{1}{x}$-2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；
又x=2时，y=$\frac{1}{2}$ln2+2-$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$＜0，
x=e时，y=$\frac{1}{2}$lne+e-$\frac{1}{e}$-2=$\frac{1}{2}$+e-$\frac{1}{e}$-2＞0，
因此函数$y=\frac{1}{2}lnx+x-\frac{1}{x}-2$的零点在（2，e）内．
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的零点问题，将零点问题转化为交点问题，是解决本题的关键．