Question

【题目】如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点

（1）求证：SO⊥平面ABC

（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形性质，结合勾股定理证明线面垂直。

（2）建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量夹角公式即可求得点E的坐标。

（1）∵，O为BC的中点，∴，

设，则，，，

∴，∴，

又∵，∴平面ABC．

（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，

以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．

则有，，，，．

假设存在点E满足条件，设，

则，

则．

设平面SCE的法向量为，

由，得，故可取．

易得平面SBC的一个法向量为．

所以，，解得或（舍）．

所以，当时，二面角的余弦值为．