Question

【题目】如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）为平行四边形，连结，为中点，为中点，由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得结论；（2）利用面面垂直的性质可得，三角形为等腰直角三角形，可得；从而可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果 ；（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.

试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点，

为中点，∴在中且平面，平面，

∴平面.

（2）证明：因为面面，平面面，

为正方形，，平面，

所以平面，∴，

又，所以是等腰直角三角形，且即，

，且、面，面，

又面，面面.

（3）直线与平面所成角即为直线与平面所成角即，又，故所求角为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、面面垂直的判定与性质，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.