Question

（2010•温州一模）在空间直角坐标系O-xyz中，称球面S：x²+y²+z²=1上的点N（0，0，1）为球极，连接点N与A（x，y，0）的直线交球面于
A′（x′，y′，z′），那么称A′为A在球面上的球极射影，下列说法中正确的是

（1），（2），（3）

．
（1）xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影关于z轴对称；
（2）在球极射影下，xOy平面上的点与球面S上的点（除球极外）是一一对应的；
（3）点（

1

2

，

3

2

，0）的球极射影为该点本身；
（4）点（2，1，0）的球极射影为（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）．

Answer 1

分析：（1）xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影与点N构成一个等腰三角形；（2）由球极射影的概念知，在球极射影下，xOy平面上的点与球面S上的点（除球极外）是一一对应的；（3）点（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上；（4）点（2，1，0）的球极射影为（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．

解答：解：（1）∵xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影与点N构成一个等腰三角形，
等腰三角形的顶点是N，等腰三角形的另外两个点就是xOy平面上关于原点对称的两个点的球极射影，
∴它们关于z轴对称．故（1）正确；
（2）由球极射影的概念知，在球极射影下，xOy平面上的每一个点都在球面上有一个唯一对应的点；
反之，除球极N（0，0，1）之处，球面上的每一个点在xoy平面上都有唯一对应的点．
∴在球极射影下，点xOy平面上的点与球面S上的点（除球极外）是一一对应的．
故（2）正确；
（3）∵点（

1

2

，

3

2

，0）在球面S：x²+y²+z²=1上，
∴点（

1

2

，

3

2

，0）的球极射影还是点（

1

2

，

3

2

，0）
∴它的球极射影为该点本身．故（3）正确；
（4）∵点（2，1，0）的球极射影为（

2

3

，

1

3

，

2

3

）．
而（

2

3

，

1

3

，

2

3

）与（

2

3

，

1

3

，-

2

3

）不重合．
∴（4）不正确．
故正确答案为：（1），（2），（3）．

点评：本题考查空间中的点的坐标的应用，解题时要认真审题，正确理解球极射影这个新定义，注意转化化归思想的灵活运用．