题目内容
(2010•温州一模)已知B1,B2为椭圆C1:
+y2=1(a>1)短轴的两个端点,F为椭圆的一个焦点,△B1FB2为正三角形,
(I)求椭圆C1的方程;
(II)设点P在抛物线C2:y=
-1上,C2在点P处的切线与椭圆C1交于A、C两点,若点P是线段AC的中点,求AC的直线方程.
x2 |
a2 |
(I)求椭圆C1的方程;
(II)设点P在抛物线C2:y=
x2 |
4 |
分析:(I)先设F(c,0),根据△B1FB2为正三角形求出c值,再根据a2=c2+b2求出a,从而写出椭圆C1的方程;
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),利用导数几何意义求出直线AC的斜率,利用A,C在椭圆
+y2=1上,将点的坐标代入椭圆方程后作差表示出直线AC的斜率从而解得x0=0或x0=±
最后得出点P的坐标及直线AC的方程.
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),利用导数几何意义求出直线AC的斜率,利用A,C在椭圆
x2 |
4 |
2 |
解答:解:(I)∵B1(0,-1),B2(0,1),设F(c,0)
∵△B1FB2为正三角形
∴c=
…(2分)
∴a2=c2+b2=4
∴椭圆C1的方程是
+y2=1…(4分)
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0)
∵函数y=
-1的导数为y′=
∴直线AC的斜率 KAC=
…(6分)
∵A,C在椭圆
+y2=1上,
∴
(1)-(2)得:
+ (y1-y2)(y1+y2)=0…(9分)
∴直线AC的斜率kAC=
=-
=-
=
又∵
+y02=1得
x0(x02-2)=0,
解得:x0=0或x0=±
…(13分)
当x0=0时,P点坐标为(0,-1),直线AC与椭圆相切,舍去;
当x0=±
时,点P的坐标为(±
,-
),显然在椭圆内部,
所以直线AC的方程是:y=±
x-
…(15分)
∵△B1FB2为正三角形
∴c=
3 |
∴a2=c2+b2=4
∴椭圆C1的方程是
x2 |
4 |
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0)
∵函数y=
x2 |
4 |
x |
2 |
∴直线AC的斜率 KAC=
x0 |
2 |
∵A,C在椭圆
x2 |
4 |
∴
|
(x1-x2)(x1+x2) |
4 |
∴直线AC的斜率kAC=
y1-y2 |
x1-x2 |
x1+x2 |
4(y1+y2) |
x0 |
4y0 |
x0 |
2 |
又∵
x02 |
4 |
x0(x02-2)=0,
解得:x0=0或x0=±
2 |
当x0=0时,P点坐标为(0,-1),直线AC与椭圆相切,舍去;
当x0=±
2 |
2 |
1 |
2 |
所以直线AC的方程是:y=±
| ||
2 |
3 |
2 |
点评:本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的综合、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
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