题目内容

(2010•温州一模)已知B1,B2为椭圆C1
x2
a2
+y2=1(a>1)
短轴的两个端点,F为椭圆的一个焦点,△B1FB2为正三角形,
(I)求椭圆C1的方程;
(II)设点P在抛物线C2:y=
x2
4
-1
上,C2在点P处的切线与椭圆C1交于A、C两点,若点P是线段AC的中点,求AC的直线方程.
分析:(I)先设F(c,0),根据△B1FB2为正三角形求出c值,再根据a2=c2+b2求出a,从而写出椭圆C1的方程;
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),利用导数几何意义求出直线AC的斜率,利用A,C在椭圆
x2
4
+y2=1
上,将点的坐标代入椭圆方程后作差表示出直线AC的斜率从而解得x0=0或x0
2
最后得出点P的坐标及直线AC的方程.
解答:解:(I)∵B1(0,-1),B2(0,1),设F(c,0)
∵△B1FB2为正三角形
∴c=
3
 …(2分)
∴a2=c2+b2=4
∴椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1
…(4分)
(II)设A(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0
∵函数y=
x2
4
-1
的导数为y′=
x
2

∴直线AC的斜率 KAC=
x0
2
…(6分)
∵A,C在椭圆
x2
4
+y2=1
上,
x12
4
+y12=1,(1)
x12
4
+y12=1,(2)
  (1)-(2)得:
(x1-x2)(x1+x2)   
4
+ (y1-y2)(y1+y2)
=0…(9分)
∴直线AC的斜率kAC=
y1-y2
x1-x2
=-
x1+x2
4(y1+y2
=-
x0
4y0
=
x0
2

又∵
x02
4
+y02=1

x0(x02-2)=0,
解得:x0=0或x0
2
  …(13分)
当x0=0时,P点坐标为(0,-1),直线AC与椭圆相切,舍去;
当x0
2
 时,点P的坐标为(±
2
,-
1
2
),显然在椭圆内部,
所以直线AC的方程是:y=±
2
2
x-
3
2
 …(15分)
点评:本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的综合、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
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