Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经点，与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由的面积为，再结合椭圆的定义和余弦定理可得，再由可求出的值；

（1）由题意可知直线的斜率存在，设出直线方程，将直线与椭圆的方程联立方程组，化简消元，再用韦达定理，然后结合列方程可求出直线的斜率.

（1）设，，则，

在中，，即，

由余弦定理得，即

代入计算得，∴，

又，∴，∴椭圆的方程为；

（2）由题意知直线l存在斜率，设直线l的方程为，

将其代入整理可得，

则，得.

设，则，，

∵，，，

∴，

又∵，，

∴，

得，

化简得，解得，∵，∴

∴直线的方程为，即.