题目内容

设θ∈R，n∈N₊，i是虚数单位，复数z=cosθ+isinθ，观察：z²=cos2θ+isin2θ，z³=cos3θ+isin3θ…得出一般性结论为：zⁿ=（　　）

A．sinnθ+icosnθ

B．cosnθ+isinnθ

C．cosⁿθ+isinⁿθ

D．sinⁿθ+icosⁿθ

分析：根据已知条件，利用归纳推理，可得结论．

解答：解：根据复数z=cosθ+isinθ，观察：z²=cos2θ+isin2θ，z³=cos3θ+isin3θ，
归纳可得一般性结论为：zⁿ=cosnθ+isinnθ，
故选B．

点评：本题主要考查归纳推理，属于基础题．

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设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若数列{a_n}满足a_nf （m）=a_n+1，数列{b_n}满足b₁= $数学公式$ ，b_n=f （b_n-1）（n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若m=1，记c_a=a_n（ $数学公式$ -1），数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对于任意的x∈R，均有 $数学公式$ ，定义数列{a_n}，a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1）（n∈N^）．
（Ⅰ）求证： $数学公式$ （n∈N^）．
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^），求证：b_n＜（-6）•2^-n（n∈N^）；
（Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
①当n=0，1时， $数学公式$ ；
②当n≥2时（n∈N^*，） $数学公式$ ．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．