题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若数列{a_n}满足a_nf （m）=a_n+1，数列{b_n}满足b₁= $数学公式$ ，b_n=f （b_n-1）（n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若m=1，记c_a=a_n（ $数学公式$ -1），数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

（1）解：由S_n=（1+m）-ma_n得：S_n-1=（1+m）-ma_n-1 （n≥2），相减得：a_n=-ma_n+ma_n-1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，m≠-1，m为常数，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，∴f （m）= $\text{[math]}$ ．
∵b_n=f （b_n-1）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，即{ $\text{[math]}$ }是首项为2，公差为1的等差数列，
故 $\text{[math]}$ =2+（n-1）=n+1，
∴b_n= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）解：当m=1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a₁=S₁=2-a₁，得：a₁=1，∴a_n= $\text{[math]}$ ，（8分）
∴c_n=a_n（ $\text{[math]}$ -1）=n× $\text{[math]}$ ，
∴T_n=1+2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +…+n× $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ ，
相减得： $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -n $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -n $\text{[math]}$ =2-2 $\text{[math]}$ -n $\text{[math]}$ ＜2，
∴T_n＜4．（12分）
分析：（1）由条件可得得：a_n=-ma_n+ma_n-1，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，得f （m）= $\text{[math]}$ ．再由b_n=f （b_n-1）= $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，故{ $\text{[math]}$ }是首项为2，
公差为1的等差数列，由此求得数列{b_n}的通项公式．
（2）先求出 a_n= $\text{[math]}$ ，进而求得 c_n=a_n（ $\text{[math]}$ -1）=n× $\text{[math]}$ ，再进一步求得T_n=1+2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +…+n× $\text{[math]}$ ，利用错位相减法求出T_n的值．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比关系的确定，数列与不等式综合，用错位相减法进行数列求和，属于难题．