Question

3．已知a₁=1，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$变形可知a_n+1-2=$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2{a}_{n}-1}$、a_n+1+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，两式相除、两边同时取对数整理可知lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$、lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-2}-2}{{a}_{n-2}+1}$、…、lg$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{2}+1}$=2lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，进而可知$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}）^{{2}^{n-1}}$，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$，
∴a_n+1-2=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$-2=$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，
a_n+1+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，
两式相除得：$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}+1}$=$（\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}）^{2}$，
两边同时取对数得：lg$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$，
∴lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$，lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-2}-2}{{a}_{n-2}+1}$，…，lg$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{2}+1}$=2lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，
∴lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2^n-1lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，即$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}）^{{2}^{n-1}}$，
又∵$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1-2}{1+1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}$，
整理得：a_n=2+3•$\frac{（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}}{1-（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}}$．

点评 本题考查数列是的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．