题目内容

18．求函数y=8+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$的单调区间．

分析 求导y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=-2•$\frac{x+1}{{x}^{3}}$，从而确定导数的正负，再确定函数的单调区间．

解答 解：∵y=8+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=-2•$\frac{x+1}{{x}^{3}}$，
故当x＜-1时，y′＜0，当-1＜x＜0时，y′＞0，当x＞0时，y′＜0；
故函数y=8+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$的单调减区间为（-∞，-1），（0，+∞），
单调增区间为（-1，0）．

点评 本题考查了导数的综合应用．

练习册系列答案
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6．设x、y∈R+，且满足xy+x+y=3．则x+y的最小值为2，x+2y的最小值为$4\sqrt{2}-3$．
7．计算：
（1）（$\root{4}{{b}^{-\frac{2}{3}}}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$（b＞0）；
（2）（0.0081）${\;}^{-\frac{1}{4}}$-[3×（$\frac{7}{8}$）0]-1•[81-0.25+（3$\frac{3}{8}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$]${\;}^{-\frac{1}{2}}$-10×0.027${\;}^{\frac{1}{3}}$；
（3）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{4{b}^{\frac{2}{3}}+2•\root{3}{ab}+a^\frac{2}{3}}$÷（1-2•$\root{3}{\frac{b}{a}}$）×$\root{3}{ab}$．
6．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，其中bn=$\frac{1}{n}$，求证：n≥2时，1+lnn＞Sn．
13．已知O是三角形ABC内部一点，满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{CO}$，则$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=（　　）
A．$\frac{3}{2}$B．5C．2D．$\frac{5}{3}$
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点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB，CD不重合）．
（Ⅰ）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（Ⅱ）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）
（Ⅲ）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
10．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）如果平面α内的两条相交的直线a，b都平行于平面β，那么α∥β；
（3）如果a，b为异面直线，那么a，b所成的角θ的范围是0＜θ＜π；
（4）如果a，b为异面直线，那么过a，b外一点有且仅有一个平面α与a，b都平行；
上面命题中，所有假命题的序号是（1）（3）（4）．
7．设x＞y＞0，则下列各式中正确的是（　　）
A．x＞$\frac{x+y}{2}$＞$\sqrt{xy}$＞yB．y＞$\frac{x+y}{2}$＞$\sqrt{xy}$＞xC．x＞$\frac{x+y}{2}$＞y＞$\sqrt{xy}$D．y＞$\frac{x+y}{2}$≥$\sqrt{xy}$＞x
8．已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11，g（x）=3x2+6x+12，和直线m：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）如果对于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．
（3）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

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