Question

13．已知O是三角形ABC内部一点，满足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{CO}$，则$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 5
• C． 2
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 作出正△ABC，并延长OC到D，使 $\overrightarrow{OD}$=4$\overrightarrow{OC}$，延长OB到E，使 $\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$．可得S_△AOC=$\frac{1}{4}$S_△AOD，同理S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△AOE，因为△AOE的面积与△AOD的面积都等于平行四边形OEFD面积的一半，所以S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△AOB，可得 $\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$-4$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$延长OC到D，使 $\overrightarrow{OD}$=4$\overrightarrow{OC}$，延长OB到E，使 $\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，以OD、OE为邻边作平行四边形OEFD，可得 $\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OE}$，∴$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OF}$互为相反向量，得O为AF的中点
∵△AOD中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OD}$，
∴△AOC的面积S_△AOC=$\frac{1}{4}$S_△AOD，同理可得S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_△AOE
∵S_△AOD=S_△AOE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形OEFD}，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△AOB，可得$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=2
故选：C．

点评 本题给出正三角形ABC内部一点O满足特殊的向量等式，求两个小三角形的面积比．着重考查了平面向量的线性运算和向量在几何中的应用等知识点，属于中档题．