Question

8．已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直线m：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）如果对于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．
（3）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）第一小问较简单，只要求出函数f（x）的导数即可解决；
（2）对于题目中：“f（x）≤kx+9≤g（x）成立”不等式问题，通过分离参数，转化成恒成立问题解决；
（3）先观察条件可得直线m恒过点（0，9），再利用待定系数法求出切线的方程即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11的导数为f′（x）=3ax²+6x-6a，
由f′（-1）=0，即有3a-6-6a=0，解得a=-2；
（2）kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，
当x=0，不等式恒成立，k∈R．
当-2≤x＜0时，不等式为k≥3（x+$\frac{1}{x}$）+6，
而3（x+$\frac{1}{x}$）+6≤-3•2+6=0，∴k≥0；
当x＞0时，不等式为k≥3（x+$\frac{1}{x}$）+6，∵3（x+$\frac{1}{x}$）+6≥3•2+6=12，
∴k≤12
∴当x≥-2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12；
由f（x）≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11，
当x=0时，9≥-11恒成立，k∈R，
当-2≤x＜0时有k≤-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$，
设h（x）=-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$=-2（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{105}{8}$-$\frac{20}{x}$，
当-2≤x＜0时，-2（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{105}{8}$为增函数，
-$\frac{20}{x}$也为增函数∴h（x）≥h（-2）=8，
∴要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，则k≤8；
由上述过程只要考虑0≤k≤8，
则当x＞0时f′（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
∴在x∈（0，2]时f′（x）＞0，在（2，+∞）时，
∴f（x）在x=2时有极大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9而当x＞0，k≥0时，
∴f（x）≤kx+9一定成立，
综上所述0≤k≤8；
（3）因为直线m恒过点（0，9）．
先求直线m是y=f（x）的切线．
设切点为（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6．
∴切线方程为y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），
将点（0，9）代入得x₀=±1．
当x₀=-1时，切线方程为y=9，
当x₀=1时，切线方程为y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
当x=-1时，y=f（x）的切线y=-18，当x=2时，
y=f（x）的切线方程为y=9∴y=9是公切线，
又由f′（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，当x=0时y=f（x）的切线为y=12x-11，
当x=1时y=f（x）的切线为y=12x-10，
∴y=12x+9，不是公切线，
综上所述k=0时y=9是两曲线的公切线．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，同时还考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力，综合性特别强，对学生能力要求高，有压轴题分量．