Question

6．设x、y∈R⁺，且满足xy+x+y=3．则x+y的最小值为2，x+2y的最小值为$4\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 首先由等式x+y+xy=3，可得到x+y=3-xy，又根据基本不等式有3-xy≥2$\sqrt{xy}$，可设t=$\sqrt{xy}$，得到到关于t的不等式t²+2t-3≥0，求出t的范围即可得到x+y的最小值；
由x表示y，代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x，y∈R⁺，x+y+xy=3，则x+y=3-xy．
又根据基本不等式有x+y$≥2\sqrt{xy}$．
即有3-xy$≥2\sqrt{xy}$，
设$t=\sqrt{xy}$＞0，
则有不等式t²+2t-3≤0，解得0＜t≤1．
则x+y≥2；
由xy+x+y=3，得$y=\frac{3-x}{x+1}$，
∴s=x+2y=x+$\frac{6-2x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}-x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}-3（x+1）+8}{x+1}$
=$（x+1）+\frac{8}{x+1}-3≥2\sqrt{（x+1）•\frac{8}{x+1}}-3$=$4\sqrt{2}-3$．
当且仅当x+1=$\frac{8}{x+1}$，即x=$2\sqrt{2}-1$时上式取“=”．
故答案为2，$4\sqrt{2}-3$．

点评 此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到变量代换思想，属于中档题目．