Question

一动圆与圆O₁∶(x－1)²＋y²＝1外切，与圆O₂∶(x＋1)²＋y²＝9内切．

(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹L的方程．

(Ⅱ)设过圆心O₁的直线l∶x＝my＋1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO₂(O₂为圆O₂的圆心)的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R． 　　由题意，得，(3分) 　　由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝2，c＝1，． 　　∴动圆圆心M的轨迹L的方程为(6分) 　　(2)如图，设△ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO2的面积 　　 　　当S△ABO2最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，(7分) 　　设、， 　　则，(8分) 　　由，得， 　　解得，，(10分) 　　，令，则t≥1，且m2＝t2－1， 　　有，令，则， 　　当t≥1时，，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有，， 　　即当t＝1，m＝0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为， 　　∴存在直线的内切圆M的面积最大值为．(14分)