Question

一动圆与圆O₁：（x+2）²+y²=3外切，与圆O₂：（x-2）²+y²=27内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹方程；
（II）试探究圆心M的轨迹上是否存在点P，使直线与PO₁的斜率•=1？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．
由题意，得|MO₁|=，|MO₂|=3-R，（1分）
∴，
由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，（3分）
且a=2，c=2，
∴b²=a²-c²=12-4=8． （5分）
∴动圆圆心M的轨迹方程为． （6分）
（II）由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，
它的两个焦点坐标分别为O₁（-2，0）和O₂（2，0），（7分）
设P（x，y）是椭圆上的点，
由，
得，（x≠±2）（9分）
即x²-y²=4（x≠±2），这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，
它与椭圆的交点即为点P．
由于双曲线的两个顶点在椭圆内，
根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点．
即圆心M的轨迹上存在四个点P，
使直线PO₁与PO₂的斜率=1．（12分）
分析：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．由题意，得|MO₁|=，|MO₂|=3-R，由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，由此能求出动圆圆心M的轨迹方程．
（II）由动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为O₁（-2，0）和O₂（2，0），设P（x，y）是椭圆上的点，由，得，（x≠±2），由此能够推导出圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO₁与PO₂的斜率=1．
点评：本题考查动圆圆心轨迹的求法，探索满足条件的点的存在性．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．