Question

已知cosα=

1

3

，cos(α+β)=-

1

3

，且α，β∈(0，

π

2

)，则cos（α-β）的值等于

 

．

Answer 1

分析：根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后根据α-β=2α-（α+β），利用两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：由2α∈（0，π），及cosα=

1

3

，得到cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，且sin2α=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

，
由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=-

1

3

，得到sin（α+β）=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
则cos（α-β）=cos[2α-（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=-

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

23

27

．
故答案为：

23

27

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．解题的关键是角度的灵活变换即α-β=2α-（α+β）．