题目内容

已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若,对都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：（且）.

（I）当时，单调递增区间为（0，+∞）.当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）. （Ⅱ）实数的取值范围为.（Ⅲ）详见解析.

解析试题分析：（I）应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数，令导数大（小）于0，解不等式，求单调区间”.
（Ⅱ）将问题转化成“对都有”，
通过求，得到函数在[2,2]上是增函数，
求得=g(2)=2-,利用2-，及得到实数的取值范围为.
（Ⅲ）通过构造函数，利用（I）确定的单调性得到，（当时取“=”号），利用“错位相减法”求得S=
证得（）.
试题解析：（I）   1分
当时，在（0，+∞）单调递增. 2分
当m>0时，由得    
由得
由得>   4分
综上所述：当时，单调递增区间为（0，+∞）.
当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.   5分
（Ⅱ）若m=,,对都有成立等价于对都有 6分
由（I）知在[2,2]上的最大值= 7分

函数在[2,2]上是增函数，
=g(2)=2-,    9分
由2-，得，又因为，∴∈
所以实数的取值范围为. 10分
（Ⅲ）证明：令m=，则
由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，

练习册系列答案
相关题目

已知m为常数，函数为奇函数.
（1）求m的值；
（2）若，试判断的单调性（不需证明）；
（3）若，存在，使，求实数k的最大值．

已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若，，求实数的取值范围．

已知函数, .
（1）若, 函数 在其定义域是增函数，求的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数的最小值；
（3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

已知函数,，其中R.
（1）讨论的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

设函数.
（1）若x＝时，取得极值，求的值；
（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．

(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;
(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；
②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；
注：当为正有理数时，有求导公式

设，函数，其中是自然对数的底数。
（1）判断在R上的单调性；
（2）当时，求在上的最值。

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