题目内容

(1)已知函数为有理数且),求函数的最小值;
(2)①试用(1)的结果证明命题:设为有理数且,若时,则
②请将命题推广到一般形式,并证明你的结论;
注:当为正有理数时,有求导公式

(1)(2)①关键是利用函数的最小值为②利用数学归纳法可证。

解析试题分析:解:(Ⅰ)令

时,,故上递减.
,故上递增.
所以,当时,的最小值为 
(Ⅱ)(ⅰ),令,由(Ⅰ)知
,即 
(ⅱ)命题推广到一般形式为:设为有理数且
时,则.
下面用数学归纳法证明如下:①当时,由(Ⅱ)(ⅰ)知,不等式成立;
②假设时,不等式成立,即
那么时,要证
即证
设函数

,得
时,
上递减;
,类似可证,故上递增.
时,的最小值为




由归纳假设知,所以

时不等式成立.
综上,原命题得证 
考点:数学归纳法
点评:本题用到的数学归纳法,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。若要证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立。对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥),命题P(n)都成立。

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