题目内容

设函数.
(1)若x=时,取得极值,求的值;
(2)若在其定义域内为增函数,求的取值范围;
(3)设,当=-1时,证明在其定义域内恒成立,并证明).

(1).(2).    
(3)转化成.所以.通过“放缩”,“裂项求和”。

解析试题分析:
(1)因为时,取得极值,所以
   故.                       3分
(2)的定义域为
要使在定义域内为增函数,
只需在内有恒成立,
恒成立,         5分
         7分

因此,若在其定义域内为增函数,则的取值范围是.     9分
(3)证明:
=-1时,,其定义域是
,得.
处取得极大值,也是最大值.
.所以上恒成立.因此.
因为,所以.
.
所以
=<
==.
所以结论成立.                                 13分
考点:利用导数研究函数的单调性、极值,不等式恒成立问题,不等式的证明。。
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值,是导数应用的基本问题,主要依据“在给定区间,导函数值非负,函数为增函数;导函数值非正,函数为减函数”。确定函数的极值,遵循“求导数,求驻点,研究单调性,求极值”。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解决。本题不等式证明过程中,利用“放缩法”,转化成易于求和的数列,体现解题的灵活性。

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