Question

1．（1）已知命题p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命题，求实数a的取值范围；
（2）已知命题q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命题，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-12a≤0\end{array}\right.$，解得：实数a的取值范围；
（2）若命题q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解为真命题，m的范围即为函数y=sinx+cosx，x∈[0，π]的值域，解得答案．

解答 解：（1）∵命题p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-12a≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{3}$，+∞）
（2）∵当x∈[0，π]，y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]
若命题q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解为真命题，
则m∈[-1，$\sqrt{2}$]

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，函数恒成立问题，函数的值域，难度中档．