Question

12．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{π（x-3a）（x-2a），x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 令y=3^x-a=0，则x=log₃a，令y=π（x-3a）（x-2a）=0，则x=2a，或x=3a，根据f（x）恰有2个零点，分类讨论满足条件的a值，可得答案．

解答 解：令y=3^x-a=0，则x=log₃a，
令y=π（x-3a）（x-2a）=0，则x=2a，或x=3a，
若a≤0时，则x=log₃a无意义，此时函数无零点；
若0＜a＜3，则x=log₃a＜1必为函数的零点，此时若f（x）恰有2个零点，则$\left\{\begin{array}{l}2a＜1\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得：a∈$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，
若a≥3，则x=log₃a≥1必不为函数的零点，2a≥1，3a≥1必为函数的零点，此时a∈[3，+∞），
综上可得实数a的取值范围是：$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$∪[3，+∞），
故答案为：$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$∪[3，+∞）

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，分类讨论思想，难度中档．