Question

19．已知a∈R，解关于x的不等式：ax²-2（a-1）x+a≤0．

Answer 1

分析 根据题意，讨论a=0与a＜0、a＞0时对应不等式解集的情况，从而写出不等式的解集．

解答 解：①a=0时，不等式化为2x≤0，解得x≤0；（2分）
②a＜0时，△=4（a-1）²-4a²=4（1-2a）＞0，
不等式对应方程的两个实数根为${x_1}=\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}$，
${x_2}=\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}$，则x₁＞x₂，
所以x≤x₂或x≥x₁；（4分）
③a＞0时，
若$a=\frac{1}{2}$，则△=0，所以x=-1；（6分）
若$a＞\frac{1}{2}$，则△＜0，不等式无解；（8分）
若$0＜a＜\frac{1}{2}$，则△＞0且x₁＜x₂，所以x₁≤x≤x₂；（10分）
综上：$a＞\frac{1}{2}$时不等式解集是∅；
$a=\frac{1}{2}$时不等式解集是{-1}；
$0＜a＜\frac{1}{2}$时不等式解集是$[{\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}，\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}}]$；
a=0时不等式解集是（-∞，0]；
a＜0时不等式解集是$（{-∞，\frac{{a-1+\sqrt{1-2a}}}{a}}]∪[{\frac{{a-1-\sqrt{1-2a}}}{a}，+∞}）$．（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．