Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD•BC的值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，证明∠C=∠DAB，∠C=∠DFB，利用∠DFE+∠DFB=180°，可得∠DFE+∠C=180°，即可证明C，D，F，E四点共圆；
（2）连接AF，根据C，D，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求BD•BC的值．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠C+∠DBA=90°，∴∠C=∠DAB，
∵$\widehat{BD}=\widehat{BD}$，∴∠DAB=∠DFB，∴∠C=∠DFB，
∵∠DFE+∠DFB=180°，∴∠DFE+∠C=180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
（2）解：连接AF．
∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥BE，
∵∠BAC=90°，∴AE²=EF•EB，∴5²=3EB，
即$EB=\frac{25}{3}$，∴$BF=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$，
∵C，D，E，F四点共圆，∴$BD•BC=BF•BE=\frac{16}{3}×\frac{25}{3}=\frac{400}{9}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．