Question

10．设锐角△ABC的三内角A，B，C，所对边的边长分别为a，b，c，且a=1，B=2A，则b的取值范围为$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 由题意可得0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{2}$＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得$\frac{b}{a}$=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．

解答 解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且B+A=3A，
∴$\frac{π}{2}$＜3A＜π．
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a=1，B=2A，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{a}$=b=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA，
∴$\sqrt{2}$＜2cosA＜$\sqrt{3}$，
则b的取值范围为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案为：$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出A的范围，属于中档题．