Question

9．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AD=2AA₁=2，P为A₁B₁中点．
（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD₁P；
（Ⅱ）求点P到平面ACD₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理，证明CP⊥AP，CP⊥D₁P，即可证明CP⊥平面AD₁P；
（Ⅱ）利用等体积求点P到平面ACD₁的距离．

解答 证明：（Ⅰ）Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
同理D₁C=$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{2}$
同理，Rt△D₁A₁P中，D₁P=$\sqrt{2}$，
连接C₁P，Rt△CCP中，CC₁=1，C₁P=D₁P=$\sqrt{2}$，
∴CP=$\sqrt{3}$，
∴CP²+AP²=AC²，CP²+D₁P²=D₁C²，即CP⊥AP，CP⊥D₁P，
又AP∩D₁P=P，
∴CP⊥平面AD₁P．
解：（Ⅱ）△ACD₁中，AC=D₁C=$\sqrt{5}$，AD₁=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△AC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
△AD₁P中，AD₁=AP=D₁P=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△A{D}_{1}P}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设点P到平面ACD₁的距离为h，
由等体积，得$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$，
∴h=1，
即点P到平面ACD₁的距离为1．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，正确运用等体积是关键．