Question

10．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-a|．
（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若f（x）≤|2x-4|的解集包含[-2，-1]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为2，求得a的值．
（2）由题意可得，x∈[-2，-1]时，f（x）≤|2x-4|恒成立，即-5+a≤2x≤5+a恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{-5+a≤-4}\\{-2≤5+a}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x-a|≥|2x+1-（2x-a）|=|a+1|，且f（x）的最小值为2，
∴|a+1|=2，∴a=1 或a=-3．
（2）f（x）≤|2x-4|的解集包含[-2，-1]，即x∈[-2，-1]时，f（x）≤|2x-4|恒成立，
即|2x+1|+|2x-a|≤|2x-4|恒成立，即-2x-1+|2x-a|≤4-2x恒成立，
即|2x-a|≤5恒成立，即-5+a≤2x≤5+a恒成立，即$\left\{\begin{array}{l}{-5+a≤-4}\\{-2≤5+a}\end{array}\right.$，∴-7≤a≤1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．