题目内容
如图，已知
是底面为正方形的长方体，
，
，点
是
上的动点．
（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面
？并证明你的结论；
（2）当为的中点时，求异面直线
与
所成角的余弦值；
（3）求
与平面所成角的正切值的最大值．
（1）不论点
在
上的任何位置，都有平面
垂直于平面
.
证明如下：由题意知，
，
又
平面 又
平面 
平面
平面．
（2）解法一：过点P作
，垂足为
，连结
（如图），则
，
是异面直线
与
所成的角．
在
中 ∵
∴
∴
, 
，
． 又
．
在
中，
．
异面异面直线与所成角的余弦值为
．
解法二：以
为原点，
所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则
，
，
，
，
，
∴
．
∴异面异面直线与所成角的余弦值为．
（3）由（1）知，
平面，
是
与平面所成的角，
且
．
当
最小时，
最大，这时
，由
得
，即与平面所成角的正切值的最大值
．
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是正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），它的底面边长和侧棱长都是
．
为侧棱
的中点，
为底面一边
的中点．
与
所成的角；
；
的距离．
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．
．