Question

12．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于3000cm³的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；
（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，
过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，
在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，
且点F在线段AD上，AF=30-20tanα，
此时容器内能容纳的溶液量为：
S_梯形ABCF•20=$\frac{（AF+BC）•AB}{2}$•20
=（30-20tanα+30）•20•10
=2000（6-2tanα）（cm³）；
而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm³），
令2000（6-2tanα）≥8000，
解得tanα≤1，
所以α≤45°，
即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；
（2）如图b所示，当α=60°时，
过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，
在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10$\sqrt{3}$cm，
∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$BC•BF=150$\sqrt{3}$cm²，
容器内溶液量为150$\sqrt{3}$×20=3000$\sqrt{3}$cm³，
倒出的溶液量为（8000-3000$\sqrt{3}$）cm³＜3000cm³，
∴不能实现要求．

点评 本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．