Question

2．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF₁Q的周长为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出|PF₂|的长度，利用双曲线定义求出|PF₁|的长度，则△PF₁Q的周长可求．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，得$a=\sqrt{3}，b=1$
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2$，则F₁（-2，0），F₂（2，0），
由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，
令x=2，有${y}^{2}=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$，
即y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，则|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
|PF₁|=2a+|PF₂|=$2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
则△PF₁Q的周长为|PF₁|+|QF₁|+|PQ|=$\frac{7\sqrt{3}}{3}+\frac{7\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线定义的应用，是中档题．