Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，其底面边长为4，高为

6

，E、F分别是棱AB、BC的中点．
（1）求二面角B-EF-B₁的大小；
（2）求VB1-BEF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B-EF-B₁的大小．
（2）由VB1-BEF=

1

3

×S△BEF×BB1，能求出结果．

解答： 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（4，4，0），E（4，2，0），
F（2，4，0），B₁（4，4，

6

），

EF

=（-2，2，0），

EB1

=（0，2，

6

），
设平面B₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EF =-2x+2y=0 n • EB1 =2y+ 6 z=0

，
取z=

6

，得

n

=（-3，-3，

6

），
又平面BEF的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

6

9+9+6

=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，
∴二面角B-EF-B₁的大小为60°．
（2）VB1-BEF=

1

3

×S△BEF×BB1
=

1

3

×

1

2

×2×2×

6

=

2 6

3

．

点评：本题考查二面角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．